Modèle d’Harville pour calculer la probabilité d’arriver n(ième) en fonction de la probabilité d’arriver 1er

David A. Harville a publié en 1973 un article ou il expose une modèle pour trouver la probabilité d’une arrivée donnée en utilisant uniquement les chances de victoire d’un cheval.

Son idée est d’utiliser les rapports du jeu simple, qui représentent correctement les chances des chevaux, pour trouver des paris à espérance positive dans d’autres types de paris (le pari placé par exemple).

Il précise dans son article que son modèle repose sur une supposition qui n’est pas évidente.

Soit P[A1] la probabilité que le cheval A arrive 1er et P[B2] la probabilité que le cheval B arrive second.

La supposition sur laquelle repose ses calculs est :

P[B2 / A1] P[B1 / non A1]

C’est à dire que les chances du cheval B d’être devant les autres ne changent pas que A soit premier ou non.

Il donne un exemple ou cette supposition ne semble pas correcte. Si un cheval est un coup sûr dans une course de trot, il va arriver premier la plupart du temps, et sera en revanche loin derrière lorsqu’il aura eu un problème d’allure. Ses chances d’arriver deuxième sont bien plus faibles que ses chances d’arriver premier.

Une fois la supposition acceptée, et avec l’aide du théorème de Bayes, on arrive à :

P[A1 / B2] P[B2] P[A1] P[non A1 / B1] P[B1] P[non A1]

Puis

P[A1 ∩ B2] P[B1] P[A1] 1 - P[A1]

Et plus généralement:

P[W1 ∩ X2 ∩ ... Zn] P[W1] P[X1] ... P[Z1] (1 - P[W1]) (1 - P[W1, X2]) ... (1 - P[W1, X2...Yn-1])

L’article complet est disponible : Assigning Probabilities to the Outcomes of Multi-Entry Competitions